Download PDF by Jan Draisma: Algebraische Gruppen

By Jan Draisma

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Sei v1 , . . 23 f¨ ur M := G. Bez¨ uglich dieser Basis ist Gd der Durchschnitt von G mit den Diagonalmatrizen, und Gu der Durchschnitt von G mit den unipotenten Oberdreiecksmatrizen. Beide sind also abgeschlossen und Untergruppen in G. Weiter ist die Abbildung φ : G → Gd ⊆ Tn , die einer Matrix seine Diagonale zuordnet, ein Morphismus algebraischer Variet¨aten, und auch ein Gruppenhomomorphismus. Dann folgt leicht, dass die Abbildung G → Gd × Gu , g → (φ(g), φ(g)−1 g) ein Homomorphismus algebraischer Gruppen ist, und das Inverse zu π.

Ein wichtiges Hilfsmittel in unserem Beweis sind exp und log. 43. F¨ ur nilpotentes N ∈ End(V ), V ein endlich-dimensionaler Vektorraum, schreiben wir ∞ exp(N ) := und 1 n N n! n=0 ∞ log(1 + N ) := (−1)n−1 n N . n n=1 Bemerke, dass beide Summen endlich sind, da N nilpotent ist. Wir m¨ ussen uns also nicht mit Konvergenzfragen besch¨aftigen. 44. Die Abbildung exp bildet die Menge der nilpotenten Elemente von End(V ) bijektiv ab auf die Menge der unipotenten Elemente von End(V ), und log ist ihr Inverse.

40. Ist G eine diagonalisierbare Gruppe und ist V ein endlichdimensionaler rationaler G-Modul, so ist V die (direkte) Summe seiner Gewichtsr¨ aume Vχ , χ ∈ X(G). Beweis. 17. Es folgt, dass f¨ ur eine diagonalisierbare Gruppe G gilt: zwei endlich-dimensionale rationale G-Module V und W sind genau dann isomorph, wenn dim Vχ = dim Wχ f¨ ur alle χ ∈ X(G). Eine wichtige Eigenschaft von diagonalisierbaren Gruppen ist, dass man Homomorphismen zwischen denen nicht ‘stetig ¨andern’ kann, wie folgende Proposition zeigt.

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Algebraische Gruppen by Jan Draisma


by Kevin
4.2

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