Antoine Chambert-Loir's Algèbre [Lecture notes]] PDF

By Antoine Chambert-Loir

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On définit une loi de composition dans A en posant (a i )i∈I ⋅ (b i )i∈I = (a i b i )i∈I . Elle fait de A un monoïde dont l’élément neutre est la famille (e i )i∈I . Pour tout j ∈ I, on note p j ∶ A → A j la projection d’indice j ; elle applique la famille (a i )i∈I sur l’élément a j de A j . C’est un morphisme de monoïdes. Si les Ai sont des groupes, alors A est un groupe, et les projections p j sont des morphismes de groupes. 5. 2) (Propriété universelle du produit d’une famille de groupes) Soit (Ai )i∈I une famille de monoïdes (resp.

4. 1. — Soit A et B des monoïdes. On dit qu’une application f ∶ A → B est un morphisme de monoïdes si l’on a f (eA ) = eB et si f (ab) = f (a) f (b) pour tout couple (a, b) d’éléments de A. Si A et B sont des groupes, on dit aussi que f est un morphisme de groupes. Remarquons qu’alors, on a f (a−1 ) = f (a)−1 pour tout a ∈ A. On a par suite f ([a, b]) = f (a−1 b−1 ab) = f (a)−1 f (b)−1 f (a) f (b) = [ f (a), f (b)] pour tout couple (a, b) d’éléments de A. L’application identique idA d’un monoïde (resp.

Soit A un groupe, soit B et C des sous-groupes de A ; supposons que B soit distingué dans A et notons p la surjection canonique de A sur A/B. Alors BC est un sous-groupe de A dont B est un sous-groupe distingué, B ∩ C est un sous-groupe distingué de C et l’injection de C dans A induit, par passage aux quotients, un isomorphisme de C/(B ∩ C) sur BC/B. Démonstration. — L’application p∣C est un homomorphisme de groupes d’image p(C) et de noyau B ∩ C ; cela prouve que B ∩ C est un sous-groupe distingué de C et que p∣C induit un isomorphisme de C/(B ∩ C) sur p(C).

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