An introduction to the infinitesimal calculus: Notes for the - download pdf or read online

By H. S. Carslaw

Top of the range FACSIMILE replica: Carslaw, H. S. (Horatio Scott) :An advent To The Infinitesimal Calculus; Notes For using technological know-how And Engineering scholars :Originally released by way of London, Longmans, eco-friendly in 1905. ebook may be revealed in black and white, with grayscale photos. booklet may be 6 inches broad by way of nine inches tall and smooth conceal certain. Any foldouts could be scaled to web page dimension. If the ebook is bigger than a thousand pages, it will likely be revealed and sure in components. as a result of age of the unique titles, we can't be held liable for lacking pages, pale, or bring to an end textual content.

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Eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen heißt Cauchy-Folge, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N, so dass |an − am | < ε f¨ur alle n, m N. Eine andere Bezeichnung f¨ur Cauchy-Folge ist Fundamental-Folge. Grob gesprochen kann man also sagen: Eine Folge ist eine Cauchy-Folge, wenn die Folgenglieder untereinander beliebig wenig abweichen, falls nur die Indizes gen¨ugend groß sind. Man beachte: Es gen¨ugt nicht, dass die Differenz |an − an+1 | zweier aufeinander folgender Folgenglieder beliebig klein wird, sondern die Differenz |an − am | muss kleiner als ein beliebiges ε > 0 sein, wobei n und m unabh¨angig voneinander alle nat¨urlichen Zahlen durchlaufen, die gr¨oßer-gleich einer von ε abh¨angigen Schranke sind.

11), dass xy = 0. Sei nun umgekehrt vorausgesetzt, dass xy = 0. Falls x = 0, sind wir fertig. d. 13) F¨ur alle x ∈ R gilt −x = (−1)x. Beweis. h. (−1)x ist ein Negatives von x. Wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt die Behauptung. 14) F¨ur alle x, y ∈ R gilt (−x)(−y) = xy. § 2 Die K¨orper-Axiome 21 Beweis. 13), sowie dem Kommutativ- und Assoziativgesetz erh¨alt man (−x)(−y) = (−x)(−1)y = (−1)(−x)y = (−(−x))y . 5), folgt die Behauptung. 15) F¨ur alle reellen Zahlen x = 0 gilt (x−1 )−1 = x. 16) F¨ur alle reellen Zahlen x = 0, y = 0 gilt (xy)−1 = x−1 y−1 .

Wenn an < bn f¨ur alle n, dann ist nicht notwendig lim an < lim bn , wie man an dem Beispiel der Folgen an = 0 und bn = 1n , (n 1), sieht, die beide gegen 0 konvergieren. ¨ Beweis. Durch Ubergang zur Differenzenfolge (bn − an ) gen¨ugt es nach dem Corollar zu Satz 3, folgendes zu beweisen: Ist (cn ) eine konvergente Folge mit cn 0 f¨ur alle n, so gilt auch lim cn 0. Hierf¨ur geben wir einen Widerspruchsbeweis. W¨are dies nicht der Fall, so § 4 Folgen, Grenzwerte 43 h¨atten wir lim cn = −ε n→∞ mit einem ε > 0 und es g¨abe ein N ∈ N mit |cn − (−ε)| < ε f¨ur alle n spruch cn < 0 f¨ur n N folgen w¨urde.

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by Thomas
4.3

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